Выпускник Школы-студии МХАТ (1955 год), артист МХАТ. В «Современнике» со дня основания театра — 1956 года. В театральном репертуаре Игоря Кваши, одного из ведущих артистов театра:

• Гаев в «Вишневом саде» А.П. Чехова,
• Рассказчик в «Балалайкин и К» М.Е. Салтыкова-Щедрина,
• Папаша Карамазов в спектакле «Карамазовы и ад» по мотивам позднего Ф.М. Достоевского,
• Фальстаф в «Виндзорских насмешницах» Уильяма Шекспира,
• Лестер «Играем … Шиллера!» (сценический вариант трагедии Ф. Шиллера «Мария Стюарт»,
• Пьетро в «Титуле» Александра Галина,
• Саймон в «Трудных людях» Йосефа Бар-Йосефа и много других.

В спектакле «Балалайкин и К» Игорь Кваша совместно с Валентином Гафтом и Александром Назаровым выступил в качестве режиссера-постановщика. В 2008 году Игорь Владимирович поставил поэтический спектакль «А вам не хотится ль под ручку пройтиться?..»